I numeri primi, quelli cioè che hanno esattamente due divisori (ossia loro stessi e 1), sono i mattoni dell’aritmetica. Un qualunque numero naturale può essere scritto in un solo modo come prodotto di numeri primi, e questo fatto è così importante che prende il nome di Teorema fondamentale dell’aritmetica.
Ma quanti sono i numeri primi?
Sappiamo che i numeri primi sono infiniti: lo dimostrò più di duemila anni fa Euclide, in un modo che suscita ancora oggi ammirazione. Ma capire come i numeri primi si distribuiscono non è per nulla facile. Gauss congetturò, mentre Hadamard e de la Vallée Poussin dimostrarono, quasi un secolo dopo, che al crescere di n i numeri primi fino a n sono circa n/ln(n), dove ln è il logaritmo naturale, ma ci si avvicina e allontana infinite volte da questo valore. È possibile trovare intervalli di numeri grandi a piacere senza numeri primi al loro interno, ma d’altra parte sappiamo che esistono infinite coppie di numeri primi la cui differenza è al più 246.
Diversi metodi per identificarli
I matematici hanno così allargato il loro campo di ricerca e cercato classi di numeri al cui interno ci fossero infiniti numeri primi. Fermat congetturò, ed Eulero dimostrò, che ci sono infiniti numeri primi della forma a2 + b2, con a e b interi; per esempio 42 + 52 = 16 + 25 = 41. Ovviamente non tutti quei numeri sono primi: sappiamo bene che per esempio 42 + 32 = 52. Trovare nuove classi di numeri di questo tipo si è però rivelato complicato.
Nel 2018 Henryk Iwaniec e John Friedlander dimostrarono che esistevano infiniti primi della forma a2 + b4, dove almeno uno tra a e b era primo; ma non riuscirono a dimostrare che ci fossero infiniti primi della forma a2 + (2b)2, con a e b entrambi primi. A questo punto entrano in gioco Ben Green, professore a Oxford, e Mehtaab Sawhney, professore alla Columbia University, che iniziarono a lavorare congiuntamente al problema.
La tecnica usuale in questi casi è mettersi a contare i numeri con tale proprietà, dimostrando che ce ne sono sempre di più. In questo caso però i vincoli erano molto stringenti: così gli autori cominciarono a dimostrare che la congettura valeva se a e b erano primi “grezzi”, cioè non avevano divisori grandi. A questo punto dovevano passare dai primi grezzi ai veri primi: l’idea che ebbero fu usare le norme di Gowers, un concetto fondamentalmente combinatorio che Tim Gowers ideò per valutare la casualità di un insieme di numeri, o se preferite quante successioni aritmetiche vi si possono trovare. Essi definirono due tipi di somma che chiamarono Type I e Type II. Usando le norme di Gowers per confrontare le due somme nel caso di numeri primi e numeri primi grezzi, videro che erano uguali, e quindi il teorema era dimostrato.
L’importanza di questo risultato, oltre a essere stato usato per mostrare che altre classi di numeri contengono infiniti primi, sta nell’uso delle norme di Gowers in un campo apparentemente scorrelato: come sempre capita in questi casi, l’aggiunta di nuove frecce all’arco dei matematici permetterà di progredire ancora.
