Sapere Scienza

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Il pendolo cicloidale: tutto quello che volete sapere

17 Dicembre 2021 di 

La scoperta dell’isocronismo del pendolo – ossia dell’indipendenza del periodo di oscillazione dall’ampiezza – viene attribuita a Galileo Galilei, che la descrisse per lettera a un amico nel 1602, qualche anno dopo le sue prime osservazioni in proposito. In realtà, esso era già noto all’astronomo arabo Ibn Yunus nel X secolo.

Il periodo di oscillazione di un normale pendolo, tuttavia, non dipende dall’ampiezza dell’arco descritto solo nel caso di oscillazioni molto piccole. D’altra parte, esiste uno speciale tipo di pendolo, il pendolo cicloidale, in cui l’isocronismo è sempre verificato.

 

Come costruire un pendolo cicloidale


Nel 1659, 17 anni dopo la morte di Galileo, Christiaan Huygens – grande astronomo e matematico olandese – dimostrò che l’isocronismo si ha soltanto per oscillazioni cicloidali, ossia quelle la cui traiettoria è quella descritta dal punto A situato sul perimetro di un cerchio di raggio r che rotola su un piano, tipo valvola di una ruota di bicicletta in corsa (curva blu nella parte superiore della figura di seguito).
Il pendolo di Huygens è un perfetto orologio. Per costruirlo, si ricorre alla struttura mostrata nella parte inferiore della figura, dove i due legni hanno un profilo cicloidale, in modo che il filo, arrivando a fine corsa ad adagiarsi su di essi, assuma anch’esso un andamento cicloidale. Si può dimostrare che la traiettoria risultante è anch’essa una cicloide. Il periodo di oscillazione di questo pendolo è

 

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dove g è l’accelerazione di gravità. Nella formula, 4r sostituisce la lunghezza del filo l che si avrebbe nel pendolo normale.

 

Legni sagomati a cicloide1

 

 

La leggenda dei lampadari del Duomo di Pisa


Proprio in quell’anno, il 1659, Vincenzo Viviani pubblicò la prima biografia di Galileo: in essa racconta che il suo Maestro dedusse l’isocronismo del pendolo dal dondolio dei lampadari nel Duomo di Pisa, città dove risiedeva da studente. È una bella leggenda, ma poco credibile. È più probabile che Galileo, da valente liutista qual era, avesse stabilito un’analogia di comportamento tra il pendolo e le corde degli strumenti musicali, le quali emettono la medesima nota (e quindi vibrano con eguale periodo), siano esse pizzicate debolmente o con forza.

 

Il percorso più breve tra due punti è sempre il più corto? No!


Il discorso non sarebbe completo se dimenticassimo di richiamare una fondamentale proprietà della traiettoria cicloidale. Galileo aveva dimostrato che una sfera, soggetta alla forza di gravità e in assenza d’attrito, impiega minor tempo a discendere da un punto più alto a uno più basso lungo l’arco di una circonferenza che non lungo la corda corrispondente, benché quest’ultima sia sempre più breve. Nel 1697 il matematico svizzero Jacques Bernoulli dimostrò che una guida cicloidale permette una discesa ancora più rapida, anzi la più rapida possibile (brachistocronismo della cicloide). Provare per credere, oppure visitare uno dei vari siti in rete che discutono il problema, ad esempio questa tesi, che riporta direttamente la soluzione di Bernoulli.

Andrea Frova

Andrea Frova, nato a Venezia, già Ordinario di Fisica Generale alla Sapienza, ha fatto ricerca nel campo della luce e delle proprietà ottiche dei semiconduttori. È autore di molte pubblicazioni scientifiche nelle maggiori riviste internazionali. Ha anche scritto testi di divulgazione, saggi musicologici e libri di narrativa. Ha vinto il "Premio Galileo per la divulgazione scientifica" nel 2008 con Se l'uomo avesse le ali (Rizzoli-BUR), e il "Premio Città di Como" con il saggio storico-scientifico Newton & Co. - Geni bastardi (Carocci 2015). Il suo ultimo libro è 
Il signore della luce. Gli incredibili esperimenti del professor Michelson (Carocci, 2020).

copertina   novembre-dicembre 2021

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